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フィボナッチ数列とは

フィボナッチ数列とは
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どこよりもよくわかるフィボナッチ数列の一般項の解法について

$\begin&2\sin36^\circ\cos36^\circ=3\sin36^\circ-4\sin^336^\circ\\ &\Leftrightarrow4\sin^336^\circ+2\sin36^\circ\cos^\circ-3\sin36^\circ=0\\&\Leftrightarrow \sin36^\circ(4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3) =0\\&\sin36^\circ\neq 0 より\\&4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3=0\\&4(1-\cos^236^\circ)+2\cos36^\circ-3=0\\&-4\cos^236^\circ+2\cos36^\circ+1=0\\&4\cos^236^\circ-2\cos36^\circ-1=0\end $

4 フィボナッチ数列の極限

5 フィボナッチ数列をさらに知ることができる本

5-1 『数列の集中講義 (教科書Next) 』東京出版編集部 著

5-2 『高校数学+α:基礎と論理の物語』宮腰 忠 著

5-3 『総合的研究 数学II+B (高校総合的研究)』長岡 亮介 著

6 まとめ

その1.三項間漸化式の解き方
―1.特性方程式を解く。
―2.特性方程式の解をヒントに与えられた漸化式を「等比数列」型の漸化式に式を変形する。
―3.式を整理して一般項を求める。

その2.フィボナッチ数列の一般項の求め方
―1.フィボナッチ数列の漸化式を三項間漸化式とみて解く。その際、計算をおこないやすいよう、特性方程式の解を$\alpha 、\beta$とおいて計算していく。
―2.「等比数列」型の漸化式が出てくるよう式を変形する。
―3.$a_$を消去して一般項$a_n$を求める。

その3.黄金比
―1.黄金比は「美しい比」とされ、自然界はもちろん、美術作品にも用いられている。
―2.$\phi=\dfrac>$を黄金数と呼び、これは$1:\phi=\phi:(1+\phi)$を満たし、$1:\phi$は黄金比といわれる。
―3.$\cos36^\circ=\dfrac<\phi>$、$\cos72^\circ=\dfrac<\phi^<-1>>$、$\cos108^\circ=\dfrac<1-\phi>$であることからわかるように正五角形は黄金比と深い関係がある図形である。
―4.フィボナッチ数列$\$の隣り合う二項の比は黄金数に収束します。つまり、$\displaystyle \lim_\dfrac>=\phi$となる。これからわかるように、「美しい比」とされる黄金比にはフィボナッチ数列が隠れていると言える。

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フィボナッチ数列とは

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おすすめ書籍の紹介がかなり溜まってきましたので順に記事におこしていきたいと思います。(上の画像はWikiより)


見る人から見るとややクセのあるイラストが特徴的です。
もちろん生涯をつづった伝記の絵本なので内容自体はしっかりしていますが,大人が読むと思っている以上に情報量が少なく感じるかもしれません。

フィボナッチってどんな人?


レオナルド・フィボナッチ
中世イタリアの数学者
本名はまた別に存在し,フィボナッチは「ボナッチの息子」を意味する愛称をあらわします。
貿易の仕事で北アフリカ方面を巡り,そこで学んだアラビア数字をヨーロッパ・ローマで広めたことで有名になりました。当時のヨーロッパはローマ数字が使われていました。


フィボナッチの残した「算盤の書」ではアラビア数字だけでなく,エジプト式のわり算方法や単位のこと,利子のことなど幅広く数学の意見がまとめられているそうです。
わかりやすい例を挙げると分数の横線はフィボナッチが広めたそうです。


この算盤の書では,うさぎのつがい(オスとメス)に関する記述があり,これがみなさんのご存知のフィボナッチ数列につながります。

美しいフィボナッチ数列

フィボナッチ数列とは
直前の2つの数を足すと次の数になる数列です。


中学受験では有名すぎる数列ですね。

6番目までの2乗の数の和は
1+1+4+9+25+64=104となり,これは8×13=104になります。
数が大きくなっても同じことがいえます。


上の図がその性質を証明できると思います。
この図の場合は
1×1+1×1+2×2+…+13×13+21×21=21×34
がいえます。


フィボナッチ数と黄金比

黄金比
およそ 1:フィボナッチ数列とは 1.618
視覚的に美しく感じる比率で,ピラミッドや神殿,美術品など黄金比を意識したものが過去から数々残る。
身近なものとして名刺やディスプレイの長方形の比率などがある。

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