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フィボナッチ数列の等式

フィボナッチ数列の等式
横山 明日希

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本書の第1章のタイトルは「数式は美しい」。それを体現するのがこの数式だ。

2つの連続する自然数を足すと次の自然数に、3つの連続する自然数を足すと、次に連続する2つの自然数の和に……というように、左辺の項数と右辺の項数の差が1になった自然数の式が連続して現れます。(中略)
よく見ると、いちばん左の項は1、4、9と、平方数(整数の2乗となっている数)になっていることがわかります。

確かに!! さらに、1番目の式には九九の1の段が、2番目の式には九九の2の段が、このように現れる。

このとき現れる九九の段が、各数式の一番左の項の平方根と同じ数字になっているのも楽しい。

ふと思いつき、改行を取り払ってみる。
1+2=3 フィボナッチ数列の等式 4+5+6=7+8 9+10+11+12=13+14+15

読むタイプの魔法

「e 」「i」「π」そして「+」と「1」と「=」と「0」と合計7つの数字が登場しています。これら全ての記号が数学において非常に重要かつ基本的な概念であり、そのような記号のみで構成される数式だから美しい、というのが第一の理由だと思います。

「e」はオイラー数、あるいはネイピア数と呼ばれる、値にするとe=2.718……となる無理数。これは微分積分、指数関数などに強い関連を持ち、累乗の世界をつなげる重要な定数です。

黄金比はその名前のとおり、植物や貝殻など自然界のさまざまなところで見られたり、古美術品や建築物のモチーフに用いられたりと、古くから美しい比であるとされてきました。

五芒星はピタゴラス教団のシンボルマークだったといわれています。ピタゴラスは「万物の根元は数である」と主張し、無理数(√2や√5など有理数の分数で表せない数)を発見した者を処刑までしたという伝説が作られるほど、有理数できれいに表せない無理数を憎んでいたと伝えられていますが、教団のシンボルマークである五芒星に無理数の1つであるφがこんなにたくさん見られるというのは、なんとも皮肉な話です。

『数式図鑑 楽しく、美しく、役に立つ科学の宝石箱』書影

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フィボナッチ数列の一般項

式(1)に関しては、$\boldsymbol-\alpha F_n\>>$ をまるごと1つの数列だと考えると、この数列は公比 $\beta$ の等比数列になっていることがわかります。
初項は、$n=1$ フィボナッチ数列の等式 とすると
$$ \begin F_2-\alpha F_1 &=& 1- \frac> \cdot 1\\
&=& \frac>\\
&=& \beta \end $$となります。
つまり数列 $\-\alpha F_n\>$ は初項も公比も $\beta$ だったというわけですね。よって、
$$ F_-\alpha フィボナッチ数列の等式 F_n = \beta ^n \tag $$となります。

同様に、式(2)についても見ていきましょう。こちらも $\boldsymbol-\beta F_n\>>$ をまるごと1つの数列だと考えると、この数列は公比 $\alpha$ の等比数列になっていることがわかります。
初項は、$n=1$ とすると
$$ \begin F_2-\beta F_1 &=& 1- \frac> \cdot 1\\
&=& \frac>\\
&=& \alpha \end $$となります。
つまり数列 $\-\beta F_n\>$ の方は初項も公比も $\alpha$ だったとわかります。よって、
$$ F_-\beta F_n = \alpha ^n \tag $$となります。

最初の2項が「1, 1」でない場合

ここまでは、フィボナッチ数列の最初の2項を「1, 1」とする最も一般的な場合のことを考えてきました。
では、最初の2項が「1, 1」ではない場合、どのような一般項になるのしょうか。

前の2項を足すと次の項」というルールは変えません。

漸化式の特性方程式の2解
$$\alpha=\frac> , \ \beta=\frac>$$を用いて漸化式を変形すると、
$$ \begin F_-\alpha F_ &=& \beta (F_-\alpha F_n) \tag \\ F_-\beta F_ &=& \alpha (F_-\beta F_n) \tag \end $$となる所までは先ほどと同じです。
ここから最初の2項を変えた影響が出てきます。

式(6)の数列 $\-\alpha F_n\>$ は公比 $\beta$ の等比数列です。
初項は、
$$ F_2-\alpha F_1=b-\alpha a $$となります。よって、
$$ F_-\alpha F_n = ( b-\alpha a )\beta^ \tag $$となることがわかります。
同様に、式(7)からは
$$ F_-\beta F_n = ( b-\beta a )\alpha^ \tag $$という関係が得られます。
式(9)-式(8)フィボナッチ数列の等式 を計算すると
$$(\alpha-\beta)F_n=( b-\beta a )\alpha^-( b-\alpha a )\beta^$$となります。
この両辺を $\alpha-\beta$ で除すと、
$$ \begin F_n &=& \frac< ( b-\beta a )\alpha^-( b-\alpha a )\beta^ > < \alpha-\beta >\\
&=& \frac> \left\< \left( b-\frac>a \right) \left( \frac> \right)^-\left( b-\frac>a \right) \left( \frac> \right)^ \right\> \end $$となり、これが求める一般項です。

書籍詳細:トポロジカル・インデックス[改訂版]

トポロジカル・インデックス[改訂版] フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

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1章 基本となる数列と多項式
1 フィボナッチ数とルカ数
2 ペル数とペル-ルカ数
3 ド・モアブル-ビネの公式と黄金比
4 フィボナッチ数列の等式 連分数と連分多項式
5 チェビシェフ多項式
6 フィボナッチ数列の等式 数列のデータベース

2章 グラフ理論とトポロジカル・インデックス
1 基本的なグラフ
2 非隣接数とΖインデックス
3 パスカルの三角形とフィボナッチ数の関係
4 特性多項式
5 Ζ-数え上げ多項式と包除原理
6 連分数と毛虫グラフ
7 分子グラフと異性体
8 木グラフの分類

3章 非木グラフとトポロジカル・インデックス
1 単環グラフとルカ数
2 単環グラフの特性多項式とマッチング多項式
3 グラフとそのスペクトル
4 いくつかの正多面体グラフと特性多項式
5 完全グラフ、エルミート多項式、ヤング図
6 2色完全グラフとラゲール多項式
7 こぶつきルカ三角形の物理的意味

4章 ペル方程式とトポロジカル・インデックス
1 平方根の連分数展開
2 ペル方程式の最小解の振る舞い
3 Pellep-1の解の構造
4 ペル方程式の高速解法 フィボナッチ数列の等式
5 ペル方程式の最小解以外の解
6 ペル方程式の一般解を与える毛虫グラフ

5章 ディオファントスの不定方程式とトポロジカル・インデックス
1 ユークリッドの互除法
2 ディオファントスの不定方程式の従来の解法
3 カッシーニの等式
4 ディオファントスの不定方程式の新解法
5 カッシーニの等式の証明

6章 ピタゴラスの三角形とトポロジカル・インデックス
1 ピタゴラスの三角形とその分類
2 Δ1グループ
3 一つ違いの足をもつピタゴラスの三角形
4 δ1グループ
5 バーニングとホールの行列U, D, A
6 Δ2グループ
7 UとDのj/k乗根
8 毛虫からピタゴラスの三角形がぞろぞろ

7章 木グラフを支配するトポロジカル・インデックス
1 木グラフとΖインデックスの相性
2 等電木
3 Dormantとは
4 Dormantの数理
5 多様なDormant
6 木グラフを並べる
7 共役ポリエン
8 共役ポリエンの家系図
9 珊瑚グラフの連分数表現

8章 トポロジカル・インデックスのさらなる展開
1 平方根の有理数近似の高速な方法 フィボナッチ数列の等式
2 収束の少し遅い数列
3 平方根の有理数近似を与える既約ピタゴラスの三角形の設計
4 ヘロンの三角形
5 連続数ヘロンの三角形

高校生・受験生が東大を
もっと知るためのサイト

それではまずは1冊目の『浜村渚の計算ノート』からです。ストーリーを一言で言うと「数学を用いて事件を起こすテロリストたちと、女子中学生浜村渚が、数学で戦う」といった話です。犯行の背後にある規則性(被害者の名前や、犯行現場の地名に法則がある)や、被害者からのメッセージに数学が関係しており、それを浜村渚が見抜くというのが主なパターンです。
私がこの小説を読んだのは高校2年生の冬頃。本格的に受験を意識し始め、同時に自分の数学力のなさを痛感していた時期です。そのような時に同級生にこの作品をすすめられたのが、読んだきっかけです。
私にとってそれまでの数学と言えば、教科書で勉強して問題を解くといったものでした。実際多くの方にとっては同様なのではないかと思います。しかし、この作品には大学受験で出されるような数学以外の問題も多数登場します。例えば最初に登場する「四色問題」はエリアの塗り分けという、一見するとパズルに見える問題ですが、立派な数学上の定理となっています。他にも、中学で習って以来慣れ親しんでいる(?)円周率に関しても、新しい視点を得ることができました。こうした話を読むと、不思議と受験勉強へのモチベーションも上がったことを覚えています。
最後に、中学生が数学に関する謎を解くという設定について説明します。この作品では、教育課程において理系科目が軽視され過ぎたことで中学生や帰国子女以外には数学ができる人がいないという、現実とは異なる特殊な設定がされています。この小説は確かに数学の話が中心ではありますが、教育関係を志している方にも読んでいただきたい作品でもあります。(ちなみにこれと関連した内容は、竹内薫氏による解説にも書かれています。)

数学とは何か? ちょっと抽象的な数学小説!

『青の数学』

そして大学に入ってから読んだのが『青の数学』です。こちらは数学オリンピック予選に出場する高校生たちの物語です。主人公の栢山(かやま)が、国際数学オリンピック2連覇の京(かなめど)に出会う場面から始まるこの作品。作品全体を通して「数学とは何か」「なぜ数学をやるのか」といった問いが登場し、これこそ大学生におすすめしたい内容です。
私がこの作品を読んだのは大学1年生の夏頃、そろそろAセメスター(秋学期)が始まる時期でした。正直に言うと、抽象度が一気に増した大学数学は難しく、高校までとのギャップを感じていました。そんな時にこの作品を読んだことで、数学の見方が変わったと思います。
作品内では大学受験のような数学の問題から、非常に抽象的な話題まで幅広く登場します。それを読んでいるうちに、大学の数学は、高校までと全く異なるわけではないのだと思い始めました。具体的に言えば、大学では、極限や連立方程式、数列の特性方程式など高校までに習って来たことについて、高校とは異なる方法でさらに深く勉強するような内容もあるということに気付かされました。だからと言って数学が得意になるかはまた別の話ではありますが…。とにかく学問としての数学に対する見方が大きく変わる作品です。
この本では参考資料として、数学に関連した書籍が多数紹介されています。中には高校生や大学1年生には難しいものもありますが、これらを手に取ってさらに知識を深めることができます。また、教授や大学院生も登場し、数学科で学ぶ数学の雰囲気を感じることができるので、数学科への進学について意識したことのない方でも、興味がわく内容だと感じました。まだ進路に迷っている方もぜひ読んでみてください。この本が運命の出会いとなるかもしれません。

フィボナッチ数列の等式

横山 明日希

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