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フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列の一般項
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フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34・・・}と黄金比 Φ には、いろいろな関係がありそうです。
フィボナッチ数列 < Fn > の定義式は F1=1、F2=2、 FnFn-1Fn-2 (n≧3)(以下、この関係式を漸化式とよぶ。)でした。定義式からフィボナッチ数列の各項はすべて整数であることは明らかですね。このとき、n番目の数をいちいち足していかなくても求められると便利ですよね。つまり第n項を直接求められる式がほしいわけです。数学では、数列の隣接3項間漸化式から一般項を求める問題を解いた人にはお馴染みですが、ちょっと考えてみましょう。
フィボナッチ数列の漸化式 FnFn-1Fn-2 ・・・①に準じて r n = r n-1 フィボナッチ数列の一般項 + r n-2 ・・・②を満たす(ゼロでない)r の累乗 r n の数列が存在するか調べてみましょう。②の両辺を r n-2 で割ると、 r 2 = r + 1 つまり r 2 - r - = 0

とすると r = Φ または r = Φ’ のとき、累乗 r n はフィボナッチ数列の漸化式①を満たすということです。このことから、
問1 A と フィボナッチ数列の一般項 B を定数とするとき、任意の数列 Kn = A Φ n フィボナッチ数列の一般項 +B Φ’ n ・・・③も①の漸化式を満たしていることを確かめてください。
問2 ここで K1K2 を 1として、A と B を求めてください。

フィボナッチ数列の一般項が証明された年って何年?

siegmund です. あとから気づいたのですが, http://mathworld.wolfram.com/BinetsFibonacciNumberFormula.html によると,オイラーも知っていたようです. It (ビネの公式のこと) was derived by Binet in フィボナッチ数列の一般項 1843, although the result was known to Euler, Daniel Bernoulli, and de Moivre more than a century earlier. と書いてあります. フィボナッチ数は奥が深いですが, (前の回答にある「フィボナッチ数の小宇宙」にその一端が示されています) ビネの公式だけなら高校生でも解けるような問題ですから, 多くの数学者に知られていても不思議はないような気がします.

質問者からのお礼 2007/11/26 18:26

>>それは1843年にビネーによって引き出されました、けれども結果がそ >>の1世紀以上前にオイラー、ダニエル・ベルヌーイ、およびド・モア >>ブルにおいて知られていました。 私でも何とか読める英文です。Exciteちょっと借りましたが。 なるほど、証明はビネー。結果だけは1700年代ぐらいに知られていたのですね。 >>ビネの公式だけなら高校生でも解けるような問題ですから, 高校2年のとき私でも証明できたので、法政大学の先生がまだ証明されてないって言っていたので気になり投稿しました(5年ぐらい前)。 昨日2時間程度ググってみたら、わんさか証明書いてありましたww(笑)。

質問者からの補足 2007/11/26 18:26

書き忘れていたので、もう一度、本当に的確かつ詳細に ご回答ありがとうございました。 胸の痞えが取れました。

その他の回答 (3)

  • 2007/11/27 フィボナッチ数列の一般項 00:33 回答No.4

siegmund です. > なるほど、証明はビネー。結果だけは1700年代ぐらいに知られていたのですね。 ビネの公式は易しい問題で, フィボナッチ数列の一般項 この公式を山勘や try and error などで出すよりは, すなおに導く(すなわち,証明している)方がむしろ簡単でしょう. 四色問題やフェルマー予想 (今や,フェルマー・ワイルズの定理と呼ぶべきですね) とはわけが違います. オイラー,ダニエル・ベルヌーイ,ドゥ・モアヴル達が 導けなかったとは思えません. 彼らも当然導いたはずです. ビネはいろいろな拡張もしているようなので, そういうこともあって彼の名前が公式に残っているのでしょうか. 素人の私(物理学者です)がわかる(想像できる?)のはこれくらいで, あとは数学史の専門家などのご意見を伺いたいところですね. > 法政大学の先生がまだ証明されてないって言っていたので 多分,何かの誤解なのでしょうね.

  • 2007/11/25 21:05 回答No.2

いわゆる Binet の公式 F_n = (α^n - β^n)√5 のことでしょうか. F_n は n 番目のフィボナッチ数, α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2 です. 中村滋著「フィボナッチ数の小宇宙」(フィボナッチ数列の一般項 日本評論社,2002)の p.4 には 「18世紀の前半にドゥ・モアヴル(1718)やダニエル・ベルヌーイ (1728)らによって発見され,19世紀半ばにはビネ(1843)らに よって再発見されたもので」 「その(ビネの再発見のこと)翌年にはラメ(Lame)も再発見している」 という記述があります. ドゥ・モアヴル(1718)やダニエル・ベルヌーイの発見が具体的に 何に記されているのかはわかりません. この頃はまだ学術雑誌はなかったと思います. ビネやラメの頃には学術雑誌はありました. もっと調べるなら,フィボナッチ協会 http://www.mathstat.dal.ca/Fibonacci/ のあたりからたどってみると何かわかるかも知れません.

質問者からのお礼 2007/11/26 07:21

  • 2007/11/25 19:43 回答No.1

イタリアの数学者、レオナルド=フィリオ=ボナッチが 1202年に発表した、著書『算盤の書』に 「ウサギの出生率に関する数学的解法」として発表したものが フィボナッチ数列です。

質問者からの補足 2007/11/25 20:24

フィボナッチ数列の一般項が証明された年って西暦何年でしょうか? また出来れば誰が証明したかも教えてください。 上記が質問です。 今回の回答は失礼ですが、的外れで、 フィボナッチ数列が発見された年と人名です。 ですが、回答ありがとうございました。 引き続きよろしくお願いします。

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